POLYOMINO TILINGS

Polyomino Tilings

Select polyominoes for a set (currently 1 or 2), for which tilings should be shown.

Then click "Show" button.

You may also see list of all polyomino sets for which data is available here.


U octomino, A1 9-omino and T1 10-omino

Prime rectangles: ≥ 3.

Smallest rectangle tilings

Smallest rectangle (3x9):

Smallest square (9x9):

Rectangle tilings' solutions count (including symmetric)

Blue number - strongly prime rectangle (which cannot be divided into two or more number of rectangles tileable by this set).

Green number - weakly prime rectangle (which cannot be divided into two rectangles tileable by this set, but which can be divided into three or more rectangles).

Purple number - prime rectangle (unknown if weakly or strongly prime).

Red number - composite rectangle (which can be divided into two rectangles tileable by this set).

Gray number - it is unknown whether rectangle is prime or composite.

Question mark (?) - solution count is unknown.

Click on underlined numbers to view picture with one solution.

w \ h
1-2
3
4-5
6
7-8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
N>0
1-2
0
3
0
0
4-5
0
0
0
6
0
0
0
0
7-8
0
0
0
0
0
9
0
2
0
4
0
208
10
0
0
0
0
0
0
?
11
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2
0
36
0
1384
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19720
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173784
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1908968
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22361430
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44739242
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89462102
0
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1.46115623×10²⁸
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90
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357881174
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715827882
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1.40674805×10³¹
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0
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0
9.33739124×10²⁰
0
1.38906585×10³²
?
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≥1
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≥1
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≥1
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?
99
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2.86331153×10¹⁰
0
4.08274213×10²¹
0
1.37160596×10³³
?
?
≥1
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≥1
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?
≥1
?
N>0
x
3k
x
3k
x
3k
?
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?
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?
?
?

Formulas

$N(w; h)$ - number of ways to tile $w\times h$ rectangle (including symmetric solutions)

$T(w; h) = \begin{cases} 1, & N(w; h) \geq 1 \\ 0, & \text{else} \end{cases}$ - tileability function, $1$ if tiles rectangle, $0$ otherwise

$A(w; h) = \left(N(w; h)\right)^{\frac{1}{wh}}$ - average number of ways to tile cell in $w\times h$ rectangle (including symmetric solutions)

$G(T; x; y) = \sum_{w=1}^{\infty}\sum _{h=1}^{\infty}T(w; h)x^wy^h$ - bivariate generating function of $T(w; h)$

$G(A; x; y) = \sum_{w=1}^{\infty}\sum _{h=1}^{\infty}A(w; h)x^wy^h$ - bivariate generating function of $A(w; h)$

$G(N(3); x) = \frac{2x^9}{1 - x^3 - 4x^6 + 2x^9 + 4x^{12}} \tag{1}$

$G(N(6); x) = \frac{4x^9 + 8x^{12}}{1 - 7x^3 + 6x^6 + 32x^9 - 24x^{12} - 48x^{15}} \tag{2}$

$G(N(9); x) = \frac{2x^3 - 10x^6 + 20x^9 + 328x^{12} - 752x^{15} - 1344x^{18} + 4480x^{21} - 6144x^{27}}{1 - 7x^3 - 80x^6 + 360x^9 + 2208x^{12} - 5040x^{15} - 23872x^{18} + 16384x^{21} + 81920x^{24} - 15360x^{27} - 86016x^{30}} \tag{3}$

See Also

N pentomino, T pentomino and X pentominoU1 17-omino, T1 19-omino, A1 27-omino and A1 36-omino